Analisi Matematica II by Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

By Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

Il presente testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico parte significativa della formazione dell'allievo.

I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica dell'opera ricalca quella usata nel testo parallelo di Analisi Matematica I. los angeles modalit`di presentazione degli argomenti ne permette un uso flessibile e modulare. Lo stile adottato privilegia los angeles chiarezza e los angeles linearit`dell'esposizione. Il testo organizzato su due livelli di lettura. Uno, più essenziale, permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia, di familiarizzarsi con le relative tecniche di calcolo e di trovare le giustificazioni dei principali risultati. L'altro, più approfondito e basato anche sullo studio del materiale presentato nelle appendici, permette all'allievo maggiormente motivato ed interessato di arricchire l. a. sua preparazione. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet`di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con los angeles relativa soluzione. in keeping with oltre l. a. met`di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

Questa nuova edizione si presenta arricchita di contenuti rispetto alla precedente in modo da rispondere alle diversified possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un secondo corso di Analisi Matematica.

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Dunque 1 f (x) dx = 0 ; 0 −t d’altra parte, ponendo ϕ(t) = te , si ha 1 0 n 1 fn (x) dx = ϕ(nx)n dx = 0 = −ne ϕ(t) dt = −ne−n + −e−t 0 −n −e −n + 1 → 1 per n → ∞ . 2 Propriet` a delle successioni uniformemente convergenti 41 La convergenza uniforme `e una condizione sufficiente per trasferire alla funzione limite la propriet` a di integrabilit` a. 9 Sia I = [a, b] un intervallo chiuso e limitato. Sia {fn }n≥n0 una successione di funzioni integrabili su I e tali che fn → f uniformemente in I. Allora f `e integrabile su I, e si ha b b fn (x) dx → Dim.

4), fissiamo ε > 0; esiste n = n(ε) ≥ n0 tale che per ogni n > n e per ogni x ∈ I ε . b−a |fn (x) − f (x)| < Allora, per ogni n > n, si ha b b fn (x) dx − a b fn (x) − f (x) dx f (x) dx = a a b ≤ |fn (x) − f (x)| dx a b < a ε dx = ε . 4) pu` o essere scritta come b lim n→∞ b fn (x) dx = a lim fn (x) dx , a n→∞ il che mostra che la propriet`a di convergenza uniforme permette lo scambio tra le operazioni di limite e di integrazione. 2 Passaggio al limite sotto segno di derivata Nel limite di funzioni derivabili, opportune ipotesi di convergenza uniforme, precisate nel seguente teorema, assicurano la derivabilit`a della funzione limite.

Pertanto R = 1 e A = [−1, 1). iii) Abbiamo gi` a visto che la serie geometrica ∞ xk k=1 converge solo in A = (−1, 1) e ha raggio R = 1. ✷ La convergenza in uno degli estremi assicura che la serie converge uniformemente sugli intervalli chiusi che includono tale estremo. Precisamente, si dimostra il seguente teorema. 31 (di Abel) Supponiamo R > 0 finito. Se la serie converge in x = R, allora la convergenza `e uniforme in ogni intervallo [a, R] ⊂ (−R, R]. Analogo risultato vale se la serie converge in x = −R.

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